Теоретические основы биомеханики удара в футболе

Давайте сделаем шажок вперёд.
В постинге товарисча дана попытка обрисовать проблему удара,есть вполне себе разумные мысли,а есть и ошибки,но для продвижения вперёд вполне пойдёт.

Вы все наверное знаете, что при абсолютно упругом соударении сначала происходит деформация соударяющихся тел (одного или обоих) и кинетическая энергия тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации, а потом происходит обратный процесс перехода энергии деформации в кинетическую без потерь. При этом ударный импульс имеет симметричную колоколообразную форму. В реальности же при соударениях, при которых даже ничего вроде не ломается и не перемешивается, обратный переход потенциальной энергии в кинетическую происходит лишь частично и при абсолютно неупругом ударе не происходит совсем(в этом случае тела после соударения движутся как одно целое). В случае неупругого соударения спад импульса после максимума происходит более быстро и чем соударение менее упруго тем быстрее. Уже давно, еще Ньютоном было предложено неупругость соударений оценивать по коэффициенту восстановления. Он равен отношению скоростей после и до удара и характеризует упругие свойства тел. Пусть наше тело падает вниз на поверхность из этого же материала и отскакивает до высоты h. Знаем со школы, из закона сохранения энергии, что если тело вылетит вертикально вверх со скоростью v до высоты h, то mvv/2=mgh ,то vv=2gh. Нетрудно понять, что квадрат коэффициента восстановления будет равен отношению высоты на которую поднялось тело после удара к высоте, с которой оно упало. Таким образом квадрат коэффициента восстановления определяет коэффициент восстановления энергии при ударе. Вот для лучшего понимания коэффициенты восстановления некоторых материалов алюминий–0,23 дерево–0,5 сталь–0,6 слоновая кость–0,89 стекло-0,94. То есть при соударении алюминиевых объектов «теряется» 95% энергии движения, у деревянных- 75%, стальных –64%, изделий из слоновой кости – только 21%, поэтому и наиболее подходящий материал для бильярда, а стеклянных (если не разобьются конечно)- всего лишь менее 12%. Из всего этого главное понять, что упругий удар от неупругого отличается лишь искажением второй половины импульса. (Естественно мы не рассматриваем здесь такие удары при которых мишень ломается, это происходит как правило если энергия удара превышает некий уровень, определенный для конкретной мишени ее хрупкостью или если в мишени что-то перемешивается (песок или жидкость), то есть структура мишени меняться не должна.) Таким образом занимаясь теорией как бы не существующих абсолютно упругих соударений мы можем получить формулу максимального значения силы удара (формулу удара)вполне применимую и для реальных(неупругих) соударений и пользоваться ею для практики.
В качестве лирического отступления, хочу сказать, что по большому счету весь окружающий нас мир состоит в общем то из частиц-атомов ведущих себя как абсолютно упругие объекты, так что и мы живем практически в абсолютно упругом мире и неупругость мира проявляется только при огромных энергиях, скоростях(температурах) и давлениях. Кстати подъемная сила крыла легко объясняется не каким нибудь там законом Бернулли как пишут в учебниках, а всего лишь следует из теории удара. Совершенно же ясно что плоскость расположенная под углом к направлению движения в газе будет испытывать от газа различное давление с разных сторон плоскости, так как усредненная среднеквадратичная скорость молекул газа будет различаться относительно сторон такой движущейся плоскости. Закон Бернулли по большому счету вообще неправильно сформулирован, так как является следствием явления эжекции о которой Бернулли понятия еще не имел.
В нашем мире, где все относительно любое соударение тел (движущихся навстречу, либо догоняющих один другое), можно рассматривать как соударение движущегося с неподвижным. Также естественно, что сила удара будет одинакова вне зависимости от того большое ли тело врезается в маленькое или наоборот маленькое в большое, главное чтобы относительная скорость объектов была бы одинаковая. Когда задача решается первый раз (задача нетривиальная), то правильное решение не возможно без правильного понимания.
Поговорим о законе сохранения импульса (количества движения). Пусть материальная точка массой m1 и скоростью v1 сталкивается с телом m2,v2. А полученные в результате удара скорости v3, v4 соответствено. Согласно третьему закону Ньютона – в процессе соударения сила действующая на каждое из соударяющихся тел в любой момент контакта будет одинакова, а согласно второму закону тел сила будет пропорциональна массе этого тела и ускорению, которое это тело будет испытывать. То есть F1=F2=m1a1=m2a2 в любой момент всего времени контакта. Проинтегрировав это соотношение по времени контакта как раз и получим закон сохранения импульса m1(v3-v1)=m2(v4-v2) При абсолютно упругом соударении изменение импульса каждого из тел одинаково. Вот как раз такую трактовку закона сохранения импульса я считаю основной, так как в более глубокомысленной трактовке теряется понимание. Например в такой формулировке – В замкнутой системе тел, где возможны только абсолютно упругие соударения, сумма импульсов является величиной постоянной. Если мы добавим к этому уравнению выражающему закон сохранения импульса уравнение закона сохранения кинетической энергии m1v1v1/2+m2v2v2/2=m1v3v3/2+m2v4v4/2 получим систему двух уравнений, с помощью которой можно решать задачи о столкновении тел. Эта система имеет решение даже для случая неупругих столкновений (с коэффициентами восстановления), но для понимания и вывода формулы удара нам достаточно знать решение для абсолютно упругого соударения и случая, когда второе тело неподвижно. Чтобы не путаться в дальнейшем пусть тело массой m врезается в тело большей массой М, которое приобретает скорость V. Тело же m отлетает назад со скоростью v1. Мы как бы таким образом эмулируем удар одного бойца по другому, столкновение ударной конечности m с мишенью M. Наша система уравнений приобретет вид m(v-v1)=MV и mvv/2=mv1v1/2 + MVV/2 Решая ее получаем, что после удара ударная конечность отлетит со скоростью
v1=v(M-m)/(M+m), а скорость мишени будет V=2mv/(M+m). К реальности эти рассчитанные значения конечно же отношению не имеют, так как абсолютно упругие столкновения возможны только в мире элементарных частиц, но это нам поможет рассчитать максимальное значение силы удара, которое будет уже близко к реальному. Хочу заметить также, что если объекты равны по массе m=M, то v1=v – первый объект остановится, а второй приобретет скорость первого V=v. Такой удар можно наблюдать в бильярде и называется он клапштос. Так что теория удара вполне рабочая для реальных объектов, обладающих высоким коэффициентом восстановления. А чем большая разница в массе, тем меньше меняется скорость легкого объекта, то есть тяжелому объекту передается все меньше и меньше энергии и в конце концов, когда M устремляется к бесконечности, как в столкновении со стеной энергия вообще не передается – легкий объект отскакивает с той же скоростью. В реальности конечно отскок определяется коэффициентом восстановления, но если сама стена достаточно жесткая-прочная (а значит как раз упругая), то энергии стене точно не достанется. Поэтому когда вы наносите удар в железобетонную стену вся энергия удара полностью отразится в вашу руку и если удар будет достаточно сильным, то энергии как правило окажется достаточно чтобы получить травмы. Вообще надо понимать, что когда вы давите на стенку (а удар это лишь кратковременное давление), то никакой энергии вы не передаете, а поставив в это место распорку (обеспечивающую такое же давление) и не тратите.
Из решения системы также следует, что если легкое тело врезается в гораздо более тяжелое, то отскакивает практически с той же скоростью. А если тяжелое врезается в легкое, то легкое тело отлетает со скоростью почти в два раза большей. Причем сила удара в обоих случаях будет одинакова. Надо понять, что такое происходит потому, что в первом случае легкое тело сначала тормозится, потом отскакивая разгоняется. Во втором же случае легкое тело начинает разгоняться в самом начале контакта. Из этого же следует насколько сложно противостоять противнику, который существенно тяжелее, он будет легко вас теснить, даже если вы будете более высокого профессионального уровня.
Связь между силой упругости и деформацией была экспериментально установлена современником Ньютона Гуком и выражается соотношением F=kx.Где к- жесткость, а х - деформация. Любую упругую поверхность можно представить как состоящую из множества плотно расположенных пружинок жесткостью Ко. Тогда закон Гука при площади ударной поверхности S примет вид: F=nKoX=SXKo/So=SXK=KSX Здесь n – количество пружинок на площади S; So – площадь, занимаемая одной пружинкой; X – величина деформации; K = Ko/So – жесткость на единицу площади (удельная жесткость поверхности). Если сталкивающиеся тела имеют различную жесткость К1 и К2 например, то жесткость при столкновении рассчитывается по формуле 1/К=1/К1 + 1/К2, отсюда К=К1К2/(К1+К2) Получается что если одно тело существенно жестче другого К2>>К1, то жесткость удара определяется жесткостью более мягкого тела К=К1 Отсюда и логично правило - бить мягким по жесткому и жестким по мягкому, чтобы не травмироваться.
Ну, а как вообще-то определить силу удара при столкновении. Самое простое например измерить изменение скорости мишени под воздействием силы и «засечь» время ее действия Т. Тогда можно вычислить силу по ее определению по следующей формуле F=ma=m(v2-v1)/Т=Fср Но в этом случае надо понимать, что здесь мы определили лишь среднее значение силы воздействия, а не ее максимальное значение, которое нам надо чаще всего и нужно измерить при ударе. Но формулу эту запомните она одна из основных FсрT=mv.
Понятно, что надежнее всего измерять максимальные значения силы воздействия измеряя непосредственно ускорения мишени или ударной конечности в процессе ударного воздействия с помощью акселерометра. Но интересно и посмотреть отчего зависит и в какой степени сила удара в теории. Большинство людей даже с высшим техническим образованием даже не представляют с какого бока подойти при решении подобных задач на силу удара и совсем уже плохо когда с силой удара начинают отождествлять импульс mv или кинетическую энергию mvv/2. Попробую научить и даже вывести формулу силы удара при упругом соударении пользуясь только элементарными способами. Например пусть объект массой m, врезается в стену со скоростью v, если коэффициент упругости соударения будет составлять k. Формулу энергии пружины хоть вывести не трудно, но лучше ее просто запомнить, тем более что она похожа на формулу кинетической энергии E=KXX/2, к –жесткость пружины, а Х – ее деформация. При ударе вся кинетическая энергия ударяющего тела переходит в энергию деформации. Отсюда вычисляется максимальное значение деформации, а отсюда максимальное(пиковое) значение силы удара. КХmaxХmax/2=mvv/2 Отсюда Хmax=v*(корень квадратный из m/k) и Fmax=kXmax=v(корень квадратный из mk). Надо учесть только что k=KS и получаем окончательно Fmax=v(корень квадратный из mKS) Видите как просто.
Гораздо сложнее вывести формулу удара при столкновении не со стенкой, а с другим объектом имеющим определенную массу M. При таком ударе мишень начинает разгоняться в самом начале контакта-столкновения, а ударная масса m при этом тормозится. Интересно то, что максимальное значение деформации будет не в тот момент когда ударяющее тело остановилось, а чуть раньше. Это как раз следует из симметричности ударного импульса при абсолютно упругих соударениях. Следует прямо запомнить этот закон позволяющий решать подобного рода задачи Изменение скорости тел до максимального значения деформации (силы) при абсолютно упругих соударениях равно изменению скорости после максимального значения деформации (силы). Найдем значения скоростей тел в момент максимального значения деформации. Для первого тела это будет v2=(v-v1)/2=(v-v(m-m)/(M+m))/2=mv/(M+m), а для мишени v3=V/2=mv/(M+m) То есть скорости соударяющихся тел в момент максимального значения деформации оказываются к тому же равны, что вообще говоря естественно. Составим уравнение сохранения энергии mvv/2= kXmaxXmax/2 + mv2v2/2 + Mv3v3/2 Подставим сюда значения v2 и v3 и найдем максимальное значение деформации Xmax=v(квадратный корень из Mm/k(M+m)), а отсюда и силу удара Fmax=kXmax=v(корень квадратный из Mmk/(M+m)) и окончательно Fmax=v(корень квадратный из MmKS/(M+m))
Среднее значение силы удара элементарными способами мы найти не сможем, так что поверьте на слово Fср=2Fmax/число ПИ. Из уравнения FсрT=MV(или FсрT=mv2) мы найдем и время контакта-соударения T=(число ПИ)(корень квадратный из Mm/(M+m)KS). Как видим время соударения уже не зависит от скорости, а только от масс тел, жесткости и площади контакта.
В случаях столкновения жестких тел типа бильярдных шаров либо при ударах твердых тел с небольшим радиусом закругления (торчащих суставов, локтей, коленей, черепов) зависимость силы от деформации перестает быть линейной, так как от величины деформации будет зависеть и площадь контакта, а значит его жесткость и в этом случае связь между силой и деформацией становится сильнее и описывается законом Герца F=K(X в степени 3/2). Силы возникающие при этом носят локальный (местный) характер и зависят от радиуса закругления(так как от этого радиуса зависит площадь контакта) и зависимость силы от скорости соударения становится не линейной, а более значительной. Локальность этих сил позволяет говорить о силах давления. (Давление это сила на единицу площади). Так например общая сила удара может оказаться незначительная, зато сила давления на конкретный сустав оказывается достаточной для получения травмы. Таким образом удары в целом незначительные по силе могут при этом приводить к серьезным травмам. Так например, в случае кулачного боя (без перчаток), точность ударов должна быть значительно выше и это не просто точность, а некоторая пространственная точность, которая позволяет приложиться по полной – максимально увеличить площадь контакта, что обеспечит максимальную силу удара, позволяющую отправить противника в нокаут. Удар чуть не точный сразу же значительно теряет в площади контакта, а значит в силе, хотя локальные силы давления могут быть при этом значительной величины и привести к травме.